Создание сайтов: лендинг, визитка, интернет магазин. Продвижение, поддержка, реклама.

3.3. Апериодическое звено 1–го порядка (инерционное звено)

Вывод свойств(характеристик) апериодического звена сделаем на примере фрагмента (части) ядерного реактора, а именно – входной камеры смешения.

Сделаем следующие допущения:

1. расход теплоносителя постоянен: G = const;

2. теплоемкость теплоносителя = const;

3. входящий в камеру смешения теплоноситель полностью перемешивается в камере смешения, т.е. температура жидкости, поступающей в каждый тепловыделяющий канал, одинакова;

4. теплообмен камеры смешения с окружающей средой пренебрежимо мал.

Уравнение теплового баланса:

где: – плотность теплоносителя,
– удельная теплоемкость,
– объем камеры смешения, ;
– расход теплоносителя, ;
– температура теплоносителя на входе и выходе, соответственно;
– температура (перемешанного) теплоносителя в камере смешения .

Условие стационара когда левая часть уравнения равна нулю:

Введем новые переменные:

Подставляя эти соотношения в (3.3.1), получаем:

Сокращая на и , получаем:

Введем новую переменную – постоянная времени:

Таким образом получили линейное дифференциальное уравнение, причем переменные и – нормализованные, что обеспечивает равенство их нулю при t ≤ 0

– постоянная времени;
– аналог y’(t);
– аналог y(t);
– аналог x(t);

Уравнение (3.3.3) соответствует типовому апериодическому звену 1-го порядка, в котором коэффициент K = 1. В общем случае уравнение динамики апериодического звена 1-го порядка имеет вид:

Если начальные условия нулевые, то можно перевести в изображения:

Уравнение динамики в изображениях:

Уравнение динамики в изображениях:

Найдем выражение для АФЧХ:

Умножим на комплексно – сопряженное значение  :

Анализируя поведение  и  при и при , получаем:

Подставляя в формулы (3.3.8) различные значения частоты ω, найдем соответствующие значения u(ω) и v(ω). Построим эти вектора на комплексной плоскости:

Анализ показывает, что годограф АФЧХ — полукруг радиусом K/2. Формулы для дейстивительной части вектора и мнимой части вектора, позволяют вычислить частоту, на которой вектор находится в нижней точке окружности (см. рис. 3.3.2).

Угол сдвига фазы при данной частоте:

Найдем зависимость амплитуды от частоты:

Учитывая, что годограф АФЧХ находится в IV-ой квадранте:

 Логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ) и фазочастотная характеристика (ФЧХ).

Анализируя частотные свойства данного звена, видим, что

1. при ω << свойства звена приблизительно совпадают со свойствами идеального усилительного звена, т.е. ≈ K => W(s) ≈K.

2. при ω >>свойства звена приблизительно совпадают со свойствами идеального интегрирующего звена, т.е. .

3. при ω на свойства звена оказывают примерно равное “влияние” свойства идеального усилительного и идеального интегрирующего звена.

Принято называть частоту, при которой происходит “излом” ЛАХ

− сопрягающей частотой,

причем не трудно показать, что при ω_сопр величина амплитуды А(ω_сопр) меньше амплитуды при нулевой частоте A(0) = K в раз:

Частотой среза ω_ср называют такое значение частоты, при которой модуль (амплитуда) выходного сигнала (воздействия) равна 1. 

Если, то частота среза

Если , то частоты среза не существует !

Найдем переходную функцию звена (реакция на единичное ступенчатое воздействие):

Используя обратное преобразования Лапласа (см. пример в разделе 2) получим:

Тогда, дифференцируя по времени, получаем весовую функцию ω(t):

Множитель 1(t) обеспечивает равенство нулю при t ≤ 0

Постоянная времени Т характеризует инерционность переходных процессов в звене. Чем больше Т, тем инерционнее звено (т.е. медленнее идет переходной процесс).

Примерами апериодического звена 1- го порядка являются:

1) пассивные R−L или R−C цепочки (см. рисунок 3.3.8);  

2) упрощенная модель гидротурбины, где x(t) – приводной момент; y(t) − скорость вращения ротора турбины;

3) электродвигатель (постоянного тока или асинхронный) с учетом инерционности якоря (ротора), где x(t) − напряжение в обмотке возбуждения, а y(t)− скорость вращения якоря (ротора) выходного вала;

4) тепловые датчики, например, термопара, где: x(t) –температура одного (“горячего”) спая, а y(t) – термо Э.Д.С.

5) выходная камера смешения в реакторе (приближенно)

6) различные элементы реактора, описываемые в рамках точеных моделей (например, активная зона или ядерное горючее) с использованием закона Фурье:

где: T(t) − температура топлива;

− “объемный” коэффициент теплоотдачи;

− выделяющаяся энергия;

− температура кипения теплоносителя. 

Пример

Лично мне всегда было интересно, насколько теория совпадает с практикой, особенно для элемента ядерного реактора. Идеальный вариант – это разобрать туалетный бачок и сделать из него модель реактора, но, боюсь, домашние не одобрят, поэтому сравнивать будем с «цифровым двойником».

Рассмотрим расчет характеристик камеры смешения, в которую подается вода при температуре 20 °С и атмосферном давлении. 

В качестве единичного воздействия будем считать изменение температуры на 1 °C.

Свойства воды при 20 градусах и атмосферном давлении: 

• теплоёмкость: = 4183 ;

• плотность:  = 998.2 .

Параметры системы:

• объем камеры смешения:    V = 0.1 ;

• массовый расход воды: G = 50 .

Решим задачу в двух приближениях:

•  В первом случае используем стандартный блок «Инерционное звено первого порядка», который есть в любой системе структурного моделирования, и модель общего вида. 

• Во втором воспользуемся расчетным тепло-гидравлическим кодом НS, который используется для создания профессиональных моделей в атомной отрасли. 

Параметры блока «Инерционное звено первого порядка» задаем с помощью скриптового языка при инициализации проекта, где рассчитывается постоянная времени. (см. рис. 3.3.9). В качестве входного воздействия задаем ступеньку на пятой секунде расчета величиной 0.05, что соответствует повышению на 1 °C от начальных 20 °C . 

На схеме присутствует также блок «Построение частотных характеристик», обеспечивающий расчет ЛАХ и ФЧХ в заданном диапазоне 0.1 – 1000 1/с.

Расчетная схема и результаты расчета приведены на рисунке 3.3.9:

Видно, что расчетные характеристики в модели совпадают с теоретическими:

1)    Постоянная времени T = 1.996 

2)    Сопрягающая частота w_сп = 1/T = 0,5009

Годограф звена, построенный с помощью Гармонического анализатора, представлен на рисунке 3.3.10, Видно, что получена полуокружность с центром в точке  (0, 0.5) и диаметром К = 1, как и предсказано в теоретической части.

Второй вариант модели в камере смешения моделируется с помощью тепло-гидравлического  расчетного кода – НS. Данный код входит в состав «Среды динамического моделирования технических систем SimTech». В коде решается более подробная система уравнений теплофизики, описание можно посмотреть здесь. Модель камеры смешения будет состоять из 4 элементов:

1.  Блок «Подпитка» обеспечивает подачу теплоносителя с заданными параметрами и заданным расходом. В нашем случае это вода при атмосферном давлении и температурой 20 °C.

2. Блок «Внутренний узел» (Node_1), – модель камеры смешения.

3. Блок «Канал общего вида» моделирует обобщенно каналы отвода теплоносителя от камеры смешения (состоит из 10 участков).

4. Блок «Граничный узел» задает температуру и давление на выходе из каналов. В нашем случае – атмосферное давление и температуру.

Общий вид модели приведен на рисунке 3.3.11 Цветовая шкала показывает распределение давления в канале, который идет после камеры смешения. Исходя из уравнений физики, система рассчитывает перепад давления, соответствующий заданному расходу по каналу (50 кг/с) с учетом его геометрии, свойств жидкости, шероховатости и т.п.

Если вывести график температуры в узле, то можно увидеть, что в начальный момент расчёта происходит какой-то переходной процесс, несмотря на то что никакого внешнего воздействие на систему нет (см. рис. 3.3.12).

Все дело в том, что система у нас динамическая, и распределение расхода и температур по узлам модели в начале расчёта не соответствует стационарному состоянию. И некоторое время происходят колебания расходов и, соответственно, температур до достижения равновесия. 

Чтобы в расчётах не учитывать данные колебания, и не заставлять пользователя задавать вручную состояние каждой точки системы, используется специальный инструмент «Файл рестарта». В этот файл сохраняются состояния системы в конце расчета или с заданным шагом.  И эти состояния можно загрузить при старте системы. Если сохранить состояние системы, находящейся в стационаре один раз, то потом можно использовать его для начала расчёта, тем самым избегая колебаний системы. Для этого необходимо:

1. В настройках проекта задать имя файла, в который мы хотим сохранить стационарное состояние в конце расчета. 

2. В следующих расчетах указать этот файл как начальное состояние при старте нового расчета, и изменить в нем модельное время на 0 (см. рис. 3.3.13). 

3. Не забываем снять галочку «Сохранять рестарт при останове», если мы не хотим каждый раз получать новое состояние после каждого расчета.

Теперь если загрузить систему из файла рестарта, созданного в стационарном состоянии, то колебания температуры на начальном этапе исчезнут. И можно проводить эксперименты с воздействием.

Для того, чтобы сравнить модель в виде динамического звена и модель в тепло-гидравлическом коде, сделаем пакет из двух проектов:

•  гидравлическая модель в коде НS;

• модель виде одного звена. 

Обмен данными будет идти через базу данных сигналов. Передадим результаты расчета из гидравлического кода в модель с одним звеном и выполним сравнение результатов. Вид пакета представлен на рисунке 6.

В главном скрипте гидравлической схемы пропишем переменную T_input – температуру на входе в камеру, на 5 секунде расчёта увеличим эту температуру на °C. А температуру в узле будем записывать в базу данных сигналов в категорию nodе_HS, переменная T_out. 

В модели общего вида прочитаем значение сигнала в базе данных nodе_HS_T_out. 

Сравним с выходом из апериодического звена (модель камеры смешения) и выведем на один график.

Результаты совместного расчета представлены на рисунке 3.3.14

Если на общем графике в масштабе 20 – 21 °C графики практически совпадают, то анализ графика сравнения показывает наличие расхождения в момент ступенчатого изменения температуры. Причем максимальное расхождение 0.0085 °C отмечено именно в момент переключения, а потом происходит выравнивание температуры (см. рис. 3.3.14).

Разница связанна как раз с более сложной и детализированной моделью в тепло-гидравлическом коде НS. Дело в том, что в реальности и плотность и теплоёмкость воды не являются постоянными, а зависят от параметров давления и температуры, и даже изменение температуры на один градус ведет к изменению подведения.  

Если в масштабе посмотреть на поведение давления в камере смешения и расхода из нее, мы увидим, что несмотря на то, что расход в камеру задавался постоянным, увеличение температуры скачком привело к возникновению колебательного процесса в давлении и массовом расходе из камеры (см. рис. 3.3.15). 

Колебания незначительны по времени и по амплитуде, но тем не менее они влияют на расчетный процесс и хорошо наблюдаемы при масштабировании графиков.

Проведем исследования с помощью блока “Гармонический анализатор“. Создадим пакет проектов, состоящий из:

1. тепло-гидравлической модели (см. рис. 3.3.11);

2. модели частотного анализа. (см. рис. 3.3.16).

В предыдущей лекции у нас блок гармонического анализа и анализируемая модель были в одном проекте. В данном проекте блок гармонического анализа передает воздействие в базу сигналов и забирает из нее отклик – температуру в камере смешения. 

Особенностью данной модели является то, что в начале расчёта на низких частотах нам нужен большой шаг интегрирования, чтобы считать медленный процессы быстрее. В начале анализа у нас частота 0.001 Гц. 

А в конце процесса частота 1000 Гц, и нам нужно сократить шаг интегрирования, чтобы получить достаточное количество точек в синусоидальном сигнале при высокой частоте. 

Поэтому в базу данных записывается не только тестовое воздействие, но и текущая частота (см. рис. 3.3.17).  Это позволяет при увеличении частоты воздействия уменьшить минимальный шаг расчета тепло-гидравлической схемы.  Скрипт модели приведен на рисунке 3.3.17.

Как работает этот скрипт?

Начальное значение температуры 20 °C. 

Если частота воздействия больше 100, то минимальный шаг модели 0.00001, иначе (при частоте воздействия меньше 100) минимальный шаг модели 0.0001.

Температура в блоке подпитки T_input рассчитывается как сумма начальной температуры 20°C и величины воздействия node_input из базы данных сигналов, которое формирует блок гармонического анализатора в диапазоне -1 … +1 °C. 

Температура в узле передаётся в базу данных для гармонического анализатора.

Результат длительного расчёта представлен на рисунке 3.3.18.

Мы видим, что несмотря на различия в математических моделях, частотные характеристики камеры смешения в тепло-гидравлическом коде отлично совпадают в диапазоне частот 0.001 до 50 Гц. Сравни с рисунком 3.3.9 

Однако на частотах выше 70 ФЧХ ведет себя не так, как в идеальном апериодическом звене. Если открыть график давления в камере смешения и график массового расхода в канале, можно наблюдать увеличение амплитуды колебаний с ростом частоты воздействия (см. рис. 3.3.19). 

Таким образом изначальная модель, в которой можно было пренебречь колебаниями давления и массового расхода, с ростом частоты воздействий выше 50 Гц превращается в модель, где принятые допущения уже не работают.

Выводы.

Теория автоматического управления действительно работает, и даже ядерный реактор можно представить в виде набора динамических звеньев. 

Однако нужно внимательно смотреть за параметрами процессов, и определять диапазоны, где принятые упрощения настолько изменяют систему, что делают модель не верной . 

Примеры моделей из лекции для самостоятельного изучения.

Предыдущая лекция.

Ссылки по теме моделирования систем: